【极限常用的9个公式】在高等数学中，极限是微积分的基础，掌握常见的极限公式对于理解和解决相关问题具有重要意义。以下是学习和应用过程中最常遇到的9个极限公式，便于记忆和使用。
一、常用极限公式总结
| 序号 | 公式 | 说明 |
| 1 | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ | 三角函数的基本极限，常用于三角函数与多项式的结合 |
| 2 | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$ | 与余弦函数相关的极限，常用于求导或泰勒展开 |
| 3 | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ | 指数函数的极限，是自然对数导数的基础 |
| 4 | $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ | 对数函数的极限，与指数函数互为反函数 |
| 5 | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ | 数学中的重要极限，定义了自然常数 $e$ |
| 6 | $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$（$a > 0, a \neq 1$） | 指数函数的一般形式，适用于任意底数 |
| 7 | $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ | 与正切函数相关的极限，可由正弦极限推导而来 |
| 8 | $\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k$（$k$ 为常数） | 幂函数的极限，常用于泰勒展开或近似计算 |
| 9 | $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$ | 反三角函数的极限，与正弦函数的逆函数有关 |
二、注意事项
- 这些极限公式通常在 $x \to 0$ 或 $x \to \infty$ 的情况下成立，具体应用时需注意变量的变化趋势。
- 在实际计算中，这些公式常常与其他方法（如洛必达法则、泰勒展开等）结合使用，以处理更复杂的极限问题。
- 熟悉这些基础公式有助于快速判断极限是否存在，并为后续的导数、积分等内容打下坚实基础。
通过系统地掌握这些极限公式，可以显著提高在数学分析、物理建模以及工程计算中的解题效率和准确性。建议在学习过程中多做练习，逐步加深对这些公式的理解与应用能力。
