【三角函数求导公式】在微积分中，三角函数的求导是基础且重要的内容。掌握这些公式的推导过程和应用方法，有助于理解函数的变化率，并为后续的积分、极值分析等打下坚实的基础。以下是对常见三角函数求导公式的总结，结合实际例子进行说明。
一、基本三角函数的导数
以下是常见的六种三角函数及其导数：
| 函数 | 导数 | 说明 |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ | 正弦函数的导数是余弦函数 |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ | 余弦函数的导数是负的正弦函数 |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ | 正切函数的导数是正割平方 |
| $ \cot x $ | $ -\csc^2 x $ | 余切函数的导数是负的余割平方 |
| $ \sec x $ | $ \sec x \tan x $ | 正割函数的导数是正割乘以正切 |
| $ \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ | 余割函数的导数是负的余割乘以余切 |
二、导数公式的推导思路（简要）
1. 正弦与余弦函数的导数
利用极限定义：
$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
$$
通过单位圆和三角恒等式推导出 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的导数分别为 $\cos x$ 和 $-\sin x$。
2. 正切函数的导数
$$
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
$$
使用商法则可得：
$$
\frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{\cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot \sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x
$$
3. 其他三角函数的导数
可通过将它们表示为正弦、余弦的组合，再利用商法则或乘积法则推导。
三、典型例题解析
例1：求 $ y = \sin(2x) $ 的导数
解：使用链式法则
$$
y' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)
$$
例2：求 $ y = \cos(3x) $ 的导数
解：
$$
y' = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin(3x)
$$
例3：求 $ y = \tan(x^2) $ 的导数
解：
$$
y' = \sec^2(x^2) \cdot 2x = 2x \sec^2(x^2)
$$
四、应用提示
- 在处理含有复合函数的三角函数时，应优先使用链式法则。
- 若遇到复杂表达式，可以先将其分解为基本三角函数的组合，再分别求导。
- 实际应用中，如物理、工程、经济学等领域，三角函数的导数常用于描述周期性变化的速率。
五、小结
三角函数的求导公式是微积分中的核心内容之一，掌握这些公式不仅有助于提高计算能力，还能增强对函数性质的理解。通过不断练习和应用，可以更熟练地应对各种复杂的求导问题。
附：常用三角函数导数速查表
| 原函数 | 导函数 |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ \sec x $ | $ \sec x \tan x $ |
| $ \csc x $ | $ -\csc x \cot x $ |
