【不定积分24个基本公式】在高等数学中，不定积分是微积分的重要组成部分，掌握其基本公式是学习积分运算的基础。以下是常见的24个基本不定积分公式，适用于大多数初等函数的积分计算。这些公式不仅有助于快速求解问题，也能为后续更复杂的积分方法打下坚实基础。
一、基本积分公式总结
| 序号 | 被积函数 | 不定积分结果 | 说明 | ||
| 1 | $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | 幂函数积分 | ||
| 2 | $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ | 对数函数积分 |
| 3 | $ e^x $ | $ e^x + C $ | 指数函数积分 | ||
| 4 | $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） | 指数函数积分 | ||
| 5 | $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | 三角函数积分 | ||
| 6 | $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | 三角函数积分 | ||
| 7 | $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ | 三角函数积分 |
| 8 | $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ | 三角函数积分 |
| 9 | $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | 三角函数积分 | ||
| 10 | $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | 三角函数积分 | ||
| 11 | $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | 三角函数积分 | ||
| 12 | $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ | 三角函数积分 | ||
| 13 | $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left( \frac{x}{a} \right) + C $ | 有理函数积分 | ||
| 14 | $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left( \frac{x}{a} \right) + C $ | 有理函数积分 | ||
| 15 | $ \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} $ | $ \ln\left | x + \sqrt{x^2 + a^2} \right | + C $ | 有理函数积分 |
| 16 | $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left( \frac{x}{a} \right) + C $ | 有理函数积分 | ||
| 17 | $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x - a}{x + a} \right | + C $ | 有理函数积分 |
| 18 | $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ | 对数函数积分 |
| 19 | $ \frac{1}{x^2} $ | $ -\frac{1}{x} + C $ | 有理函数积分 | ||
| 20 | $ \frac{1}{x^3} $ | $ -\frac{1}{2x^2} + C $ | 有理函数积分 | ||
| 21 | $ \frac{1}{x^n} $（$ n \neq 1 $） | $ \frac{1}{(1-n)x^{n-1}} + C $ | 有理函数积分 | ||
| 22 | $ \frac{1}{\sqrt{x}} $ | $ 2\sqrt{x} + C $ | 根号函数积分 | ||
| 23 | $ \frac{1}{x \ln x} $ | $ \ln | \ln x | + C $ | 复合函数积分 |
| 24 | $ \frac{1}{x (\ln x)^n} $ | $ \frac{1}{(1-n)(\ln x)^{n-1}} + C $（$ n \neq 1 $） | 复合函数积分 |
二、注意事项
1. 积分常数 $ C $：所有不定积分结果均需加上任意常数 $ C $，表示原函数的通解。
2. 条件限制：部分公式在特定条件下成立，如 $ x \neq 0 $、$ a > 0 $ 等，使用时应结合具体问题分析。
3. 常见错误：注意避免混淆 $ \int \frac{1}{x} dx = \ln
三、结语
掌握这24个基本不定积分公式，是学习积分运算的关键一步。它们不仅是解决简单积分问题的基础工具，也为后续的换元积分、分部积分等高级技巧提供了坚实的支撑。建议在学习过程中反复练习，并结合实际例题加深理解。
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