【arctanx的不定积分怎么算】在微积分中，求函数的不定积分是基本且重要的内容之一。对于反三角函数如 $ \arctan x $，其不定积分需要通过特定的方法进行计算，通常使用分部积分法来实现。
一、不定积分的基本思路
对于 $ \int \arctan x \, dx $，我们可以将其看作一个乘积形式：
$$
\int \arctan x \cdot 1 \, dx
$$
因此，采用分部积分法（Integration by Parts）是较为合适的策略。
分部积分公式为：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
二、具体步骤
我们设：
- $ u = \arctan x $
- $ dv = dx $
则有：
- $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $
- $ v = x $
代入分部积分公式得：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx
$$
接下来，我们计算 $ \int \frac{x}{1 + x^2} dx $：
令 $ w = 1 + x^2 $，则 $ dw = 2x dx $，即 $ x dx = \frac{dw}{2} $，代入得：
$$
\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{w} dw = \frac{1}{2} \ln
$$
因此，最终结果为：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
三、总结与表格展示
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 设定被积函数为 $ \arctan x $，并视为 $ \arctan x \cdot 1 $ |
| 2 | 应用分部积分法，设 $ u = \arctan x $，$ dv = dx $ |
| 3 | 求导得 $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $，积分得 $ v = x $ |
| 4 | 代入公式：$ \int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx $ |
| 5 | 计算 $ \int \frac{x}{1 + x^2} dx $，利用换元法得 $ \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) $ |
| 6 | 最终结果为：$ x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C $ |
四、结论
通过分部积分法和适当的变量替换，可以有效地求出 $ \arctan x $ 的不定积分。其结果为：
$$
\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C
$$
此过程不仅展示了分部积分法的应用，也体现了对反三角函数及其导数的理解。
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