【tan75度等于多少保留根号】在三角函数中，tan75°是一个常见的角度，其值可以通过三角恒等式推导得出。由于75°可以表示为45°与30°的和，因此我们可以利用正切的加法公式来计算其精确值，并以保留根号的形式表达。
一、公式推导
根据正切的和角公式：
$$
\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}
$$
令 $ A = 45^\circ $，$ B = 30^\circ $，则：
$$
\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}
$$
已知：
- $ \tan 45^\circ = 1 $
- $ \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} $
代入得：
$$
\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}
$$
将分子和分母同时乘以 $ \sqrt{3} $，化简后得到：
$$
\tan 75^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}
$$
为了进一步简化，可以对分母有理化：
$$
\tan 75^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2}
$$
展开分子：
$$
(\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}
$$
所以：
$$
\tan 75^\circ = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}
$$
二、结果总结
| 角度 | 正切值（保留根号） |
| 75° | $ 2 + \sqrt{3} $ |
三、结论
通过使用正切的和角公式，我们得出 $ \tan 75^\circ $ 的精确值为 $ 2 + \sqrt{3} $，该结果保留了根号形式，适用于需要精确表达的数学问题或工程计算中。
