【半角公式怎么推导的何来】在三角函数的学习中，半角公式是一个重要的知识点。它常用于将一个角的一半的三角函数值用原角的三角函数表示出来，广泛应用于积分、解方程和几何计算中。那么，这些公式到底是怎么来的？它们的推导过程又是什么？
一、半角公式的定义
半角公式是将角度为 $\theta$ 的三角函数值，转换为角度为 $\frac{\theta}{2}$ 的三角函数表达式。常见的半角公式包括：
- 正弦半角公式：$\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$
- 余弦半角公式：$\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$
- 正切半角公式：$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$
二、半角公式的来源与推导过程
半角公式的推导主要基于倍角公式和平方恒等式。以下是其核心推导思路：
1. 利用余弦的倍角公式
我们知道，余弦的倍角公式为：
$$
\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha
$$
令 $\alpha = \frac{\theta}{2}$，则有：
$$
\cos\theta = 1 - 2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)
$$
移项得：
$$
\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{2}
$$
因此，
$$
\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}
$$
同理，利用另一个余弦倍角公式：
$$
\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1
$$
同样令 $\alpha = \frac{\theta}{2}$，得到：
$$
\cos\theta = 2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) - 1
$$
移项得：
$$
\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 + \cos\theta}{2}
$$
所以，
$$
\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}
$$
2. 正切半角公式推导
正切可以由正弦和余弦的半角公式得出：
$$
\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)} = \frac{\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}}{\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}} = \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}
$$
也可以通过其他方式推导，如使用正切的双角公式或单位圆的几何关系。
三、总结
| 公式名称 | 表达式 | 推导依据 |
| 正弦半角公式 | $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 余弦倍角公式 $ \cos\theta = 1 - 2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) $ |
| 余弦半角公式 | $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 余弦倍角公式 $ \cos\theta = 2\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) - 1 $ |
| 正切半角公式 | $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$ | 正弦与余弦半角公式相除 |
四、注意事项
- 半角公式的正负号取决于 $\frac{\theta}{2}$ 所在象限。
- 在实际应用中，需要结合角度范围判断符号。
- 半角公式也可通过三角函数的和差公式、单位圆几何关系进行推导。
五、结语
半角公式并非凭空而来，而是建立在已知的三角恒等式基础上，通过对角的倍数关系进行代换和变形而得。掌握其推导过程，有助于更深入理解三角函数的内在联系，提升解题能力。
