【什么是超几何分布】超几何分布是概率论中一种重要的离散概率分布，用于描述在不放回抽样中，成功次数的概率分布。它适用于有限总体的抽样情况，与二项分布不同，超几何分布考虑的是每次抽取后不放回的情况，因此每次抽取的成功概率会发生变化。
一、超几何分布的基本概念
超几何分布用于计算从一个有限总体中进行不放回抽样时，获得特定数量的成功事件的概率。例如：从一批产品中随机抽取若干件，已知其中合格品和不合格品的数量，求抽到一定数量合格品的概率。
二、超几何分布的数学表达式
设总体中有 $ N $ 个元素，其中有 $ K $ 个“成功”元素（如合格品），从中抽取 $ n $ 个样本，其中恰好有 $ k $ 个成功元素的概率为：
$$
P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}}
$$
其中：
- $ \binom{a}{b} $ 表示组合数，即从 $ a $ 个元素中选取 $ b $ 个的方式数。
- $ X $ 是随机变量，表示在 $ n $ 次抽样中成功的次数。
三、超几何分布的特点
| 特点 | 说明 |
| 不放回抽样 | 每次抽样后不将样本放回总体 |
| 有限总体 | 总体大小 $ N $ 是固定的 |
| 成功概率变化 | 每次抽样的成功概率会因前一次结果而改变 |
| 适用于小样本 | 更适合于总体较小或样本占总体比例较大的情况 |
四、超几何分布与二项分布的区别
| 特征 | 超几何分布 | 二项分布 |
| 抽样方式 | 不放回 | 放回 |
| 总体大小 | 有限 | 无限或可视为无限 |
| 成功概率 | 变化 | 固定 |
| 适用场景 | 小样本、有限总体 | 大样本、独立事件 |
五、实际应用举例
1. 质量检测：从一批产品中随机抽取部分进行检测，计算其中合格品数量的概率。
2. 选举投票：在选民中随机抽取一部分人调查其投票意向。
3. 抽奖活动：从一定数量的奖券中抽取若干张，计算中奖概率。
六、总结
超几何分布是一种用于描述不放回抽样中成功次数的概率分布模型。它在实际问题中广泛应用于质量控制、统计调查等领域。相比二项分布，超几何分布更适用于有限总体的抽样情境，能够更准确地反映真实情况。
| 概念 | 内容 |
| 定义 | 描述不放回抽样中成功次数的概率分布 |
| 公式 | $ P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N - K}{n - k}}{\binom{N}{n}} $ |
| 特点 | 不放回、有限总体、成功概率变化 |
| 应用 | 质量检测、统计调查、抽奖等 |
通过理解超几何分布，可以更好地分析和预测在有限样本中的概率现象。
