【考研八个常见的泰勒公式】在考研数学中，泰勒公式是一个重要的知识点，尤其在高等数学和微积分部分频繁出现。掌握常见的泰勒展开式，有助于快速求解极限、证明函数性质、近似计算等问题。本文将总结考研中常见的八个泰勒公式，并以表格形式清晰展示其内容。
一、泰勒公式简介
泰勒公式是用多项式来逼近一个函数的方法，形式为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)
$$
其中 $R_n(x)$ 是余项。在实际应用中，我们通常使用麦克劳林公式（即 $a=0$）进行展开。
二、常见泰勒展开式总结
以下是考研中常见的八个泰勒展开式，适用于 $x \to 0$ 的情况，即麦克劳林展开。
| 函数 | 泰勒展开式（麦克劳林级数） | 展开范围 | ||
| $e^x$ | $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots$ | $(-\infty, +\infty)$ | ||
| $\sin x$ | $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots$ | $(-\infty, +\infty)$ | ||
| $\cos x$ | $1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots$ | $(-\infty, +\infty)$ | ||
| $\ln(1+x)$ | $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + \cdots$ | $-1 < x \leq 1$ | ||
| $\arctan x$ | $x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots$ | $ | x | \leq 1$ |
| $\arcsin x$ | $x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots$ | $ | x | \leq 1$ |
| $(1+x)^k$ | $1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots$ | $ | x | < 1$ |
| $\tan x$ | $x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots$ | $ | x | < \frac{\pi}{2}$ |
三、使用技巧与注意事项
1. 记忆方式：可以结合函数图像和奇偶性来记忆展开式，如 $\sin x$ 是奇函数，只含奇次幂；$\cos x$ 是偶函数，只含偶次幂。
2. 余项处理：在求极限时，往往只需保留前几项，根据题目要求决定展开的次数。
3. 适用范围：注意每个展开式的定义域，例如 $\ln(1+x)$ 只在 $-1 < x \leq 1$ 内成立。
4. 灵活运用：可以通过变量替换或组合已知展开式来得到其他函数的泰勒展开。
四、结语
掌握这些常见的泰勒展开式，不仅有助于提高解题效率，还能加深对函数局部性质的理解。建议考生在复习过程中反复练习，熟练掌握各项公式的应用场景与变形方法，为考研数学打下坚实基础。
