【复合函数怎么求导】在微积分中，复合函数的求导是一个非常重要的内容。它涉及到链式法则的应用，是理解函数变化率的关键工具之一。本文将从基本概念出发，总结复合函数求导的方法，并通过表格形式清晰展示不同情况下的求导步骤。
一、什么是复合函数？
复合函数是指由两个或多个函数组合而成的新函数。例如，若函数 $ y = f(u) $ 和 $ u = g(x) $，那么复合函数可以表示为 $ y = f(g(x)) $，记作 $ y = f \circ g(x) $。
二、复合函数的求导方法：链式法则
链式法则是求解复合函数导数的核心方法。其基本思想是“逐层求导，逐层相乘”。
链式法则公式：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
如果有多层复合，如 $ y = f(g(h(x))) $，则导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{df} \cdot \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dh} \cdot \frac{dh}{dx}
$$
三、常见复合函数求导示例
| 复合函数形式 | 内部函数 | 外部函数 | 求导步骤 |
| $ y = \sin(2x) $ | $ u = 2x $ | $ y = \sin(u) $ | 先对 $ \sin(u) $ 求导得 $ \cos(u) $，再对 $ 2x $ 求导得 2，结果为 $ \cos(2x) \cdot 2 $ |
| $ y = e^{3x+1} $ | $ u = 3x + 1 $ | $ y = e^u $ | 对 $ e^u $ 求导得 $ e^u $，对 $ 3x+1 $ 求导得 3，结果为 $ e^{3x+1} \cdot 3 $ |
| $ y = \ln(x^2 + 1) $ | $ u = x^2 + 1 $ | $ y = \ln(u) $ | 对 $ \ln(u) $ 求导得 $ \frac{1}{u} $，对 $ x^2 + 1 $ 求导得 $ 2x $，结果为 $ \frac{2x}{x^2 + 1} $ |
| $ y = (5x - 3)^4 $ | $ u = 5x - 3 $ | $ y = u^4 $ | 对 $ u^4 $ 求导得 $ 4u^3 $，对 $ 5x-3 $ 求导得 5，结果为 $ 4(5x - 3)^3 \cdot 5 $ |
四、注意事项
1. 分清内外函数：正确识别内部函数和外部函数是应用链式法则的前提。
2. 逐层求导：每一步都要单独求导，不能跳过中间步骤。
3. 注意符号与运算顺序：尤其是在涉及负号、指数、根号等复杂表达时，容易出错。
五、总结
复合函数的求导本质上是对多层嵌套函数进行逐层分解和求导。掌握链式法则后，即使面对复杂的函数结构，也能有条不紊地进行计算。建议多做练习题，逐步提高对复合函数求导的熟练度。
关键词：复合函数、导数、链式法则、数学基础、微积分
