【样本方差计算公式】在统计学中，方差是衡量一组数据与其平均值之间差异程度的重要指标。样本方差则是用于描述从总体中抽取的样本数据波动情况的统计量。与总体方差不同，样本方差在计算时采用的是“无偏估计”，即使用除以 $ n-1 $ 而不是 $ n $，以更准确地反映总体的方差。
下面将对样本方差的计算公式进行总结，并通过表格形式展示其关键点。
一、样本方差的定义
样本方差（Sample Variance）表示样本数据与样本均值之间的离散程度。它是对总体方差的一种无偏估计。
二、样本方差的计算公式
样本方差的计算公式如下：
$$
s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2
$$
其中：
- $ s^2 $：样本方差
- $ x_i $：第 $ i $ 个样本数据
- $ \bar{x} $：样本均值
- $ n $：样本容量
该公式中的分母为 $ n-1 $，是为了使样本方差成为总体方差的无偏估计。
三、计算步骤总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 计算样本数据的平均值 $ \bar{x} $ |
| 2 | 对每个数据点 $ x_i $，计算其与平均值的差 $ (x_i - \bar{x}) $ |
| 3 | 将每个差值平方，得到 $ (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 4 | 将所有平方差相加，得到总和 $ \sum (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 5 | 将总和除以 $ n-1 $，得到样本方差 $ s^2 $ |
四、样本方差与总体方差的区别
| 特征 | 样本方差 | 总体方差 |
| 公式 | $ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})^2 $ | $ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum (x_i - \mu)^2 $ |
| 分母 | $ n-1 $ | $ N $ |
| 用途 | 估计总体方差 | 描述总体数据的离散程度 |
| 数据来源 | 抽样数据 | 全部数据 |
五、示例说明
假设有一个样本数据集：$ 5, 7, 8, 10, 12 $
1. 计算均值：
$$
\bar{x} = \frac{5 + 7 + 8 + 10 + 12}{5} = \frac{42}{5} = 8.4
$$
2. 计算每个数据点与均值的差并平方：
$$
(5 - 8.4)^2 = 11.56,\quad (7 - 8.4)^2 = 1.96,\quad (8 - 8.4)^2 = 0.16 \\
(10 - 8.4)^2 = 2.56,\quad (12 - 8.4)^2 = 12.96
$$
3. 求和：
$$
11.56 + 1.96 + 0.16 + 2.56 + 12.96 = 29.2
$$
4. 计算样本方差：
$$
s^2 = \frac{29.2}{5 - 1} = \frac{29.2}{4} = 7.3
$$
六、总结
样本方差是统计分析中常用的一个指标，它帮助我们了解数据的离散程度。在实际应用中，由于通常只能获取样本数据，因此使用样本方差来估计总体方差更为合理。通过理解其计算过程和公式，可以更好地掌握数据的分布特征。
| 关键点 | 内容 |
| 定义 | 表示样本数据与均值的偏离程度 |
| 公式 | $ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum (x_i - \bar{x})^2 $ |
| 分母 | $ n-1 $，用于无偏估计 |
| 用途 | 估计总体方差，分析数据波动性 |
| 与总体方差区别 | 分母不同，样本方差更适用于抽样数据 |
