【数学期望公式是什么】数学期望是概率论与统计学中的一个重要概念，用于描述随机变量在大量重复试验中所取值的平均趋势。它可以帮助我们预测某个事件的长期平均结果，广泛应用于金融、工程、科学等领域。
一、数学期望的基本定义
数学期望（Expected Value），通常用符号 $ E(X) $ 表示，是对随机变量 $ X $ 在所有可能取值上按其概率加权后的平均值。简单来说，就是“期望值”或“平均值”。
二、数学期望的计算公式
根据随机变量的类型不同，数学期望的计算方式也有所区别：
1. 离散型随机变量
对于离散型随机变量 $ X $，其可能取值为 $ x_1, x_2, \dots, x_n $，对应的概率分别为 $ P(x_1), P(x_2), \dots, P(x_n) $，则数学期望公式为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
2. 连续型随机变量
对于连续型随机变量 $ X $，其概率密度函数为 $ f(x) $，则数学期望公式为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
三、常见分布的数学期望公式
以下是几种常见概率分布的数学期望公式总结如下：
| 分布名称 | 概率质量函数 / 密度函数 | 数学期望 $ E(X) $ |
| 伯努利分布 | $ P(X = k) = p^k (1-p)^{1-k} $ | $ p $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a + b}{2} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ \frac{1}{\lambda} $ |
四、数学期望的应用
数学期望不仅是一个理论工具，还在实际生活中有广泛应用，例如：
- 投资决策：通过计算预期收益，帮助投资者选择最优投资方案。
- 保险精算：保险公司利用期望值来计算保费和赔付金额。
- 游戏设计：在游戏中设置合理的奖励机制，提高玩家体验。
- 风险评估：在工程、医疗等领域评估潜在风险的平均损失。
五、小结
数学期望是概率论中的核心概念，用于衡量随机变量的“平均值”。无论是离散型还是连续型随机变量，都可以通过相应的公式进行计算。掌握数学期望的计算方法，有助于我们在复杂环境中做出更理性的判断和决策。
