【常用的导数公式表】在微积分的学习过程中，导数是理解函数变化率的重要工具。掌握常见的导数公式不仅有助于快速求解问题，还能提高解题效率和准确性。本文将对一些常用的导数公式进行总结，并以表格形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
以下列出了一些基本初等函数的导数公式：
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
二、导数的四则运算法则
在实际应用中，常常需要对多个函数进行加减乘除运算，此时可以利用以下法则求导：
| 运算类型 | 公式 |
| 加法 | $ [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) $ |
| 减法 | $ [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) $ |
| 乘法 | $ [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 除法 | $ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $（$ g(x) \neq 0 $） |
三、复合函数的导数（链式法则）
当函数由多个函数复合而成时，需要用到链式法则：
| 函数形式 | 导数公式 |
| $ f(g(x)) $ | $ f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
四、反函数的导数
若函数 $ y = f(x) $ 有反函数 $ x = f^{-1}(y) $，则其导数满足：
$$
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \quad \text{（假设 } \frac{dy}{dx} \neq 0 \text{）}
$$
五、高阶导数
除了基本导数外，还可能涉及高阶导数，例如二阶导数、三阶导数等。例如：
- 二阶导数：$ f''(x) = [f'(x)]' $
- 三阶导数：$ f'''(x) = [f''(x)]' $
总结
导数是数学分析中的核心概念之一，掌握常用导数公式对于学习微积分、物理、工程等领域具有重要意义。通过上述表格，可以快速查阅各类函数的导数表达式，提升解题效率。建议在学习过程中不断练习和巩固这些公式，以便灵活运用。
