【cos75度等于多少根号】在三角函数中，cos75° 是一个常见的角度，但其值并不像 cos30°、cos45°、cos60° 那样直观。为了准确地计算 cos75° 的值，我们可以使用三角恒等式进行推导，最终将其表示为含有根号的形式。
一、cos75° 的推导过程
我们知道：
$$
\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ)
$$
根据余弦的和角公式：
$$
\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B
$$
代入 A = 45°, B = 30°，得：
$$
\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ)
$$
已知：
- $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
代入得：
$$
\cos(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)
$$
$$
= \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}
$$
$$
= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
$$
二、总结与表格展示
| 角度 | 余弦值（精确表达） | 余弦值（小数近似值） |
| 75° | $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ | ≈ 0.2588 |
三、结论
cos75° 的准确值可以表示为：
$$
\cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
$$
这个结果通过三角恒等式推导得出，避免了直接查表或依赖计算器，更符合数学推导的严谨性。同时，它也展示了三角函数中一些非标准角度的表达方式，有助于加深对三角函数的理解。
