【八个基本泰勒公式】泰勒公式是数学分析中的一个重要工具，广泛应用于近似计算、函数展开和数值分析等领域。它通过将一个函数在某一点附近用多项式形式表示，从而简化复杂函数的处理过程。以下是八个常见的基本泰勒公式，它们在不同条件下对常见函数进行展开。
一、泰勒公式的简要说明
泰勒公式的一般形式为：
$$
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + R_n(x)
$$
其中 $ R_n(x) $ 是余项，表示展开的误差。当 $ a=0 $ 时，泰勒公式也称为麦克劳林公式。
二、八个基本泰勒公式（以 $ x=0 $ 为中心）
| 函数 | 泰勒展开式（麦克劳林级数） | 收敛区间 |
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} + \cdots $ | $ (-1, 1] $ |
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots $ | $ [-1, 1] $ |
| $ \arcsin x $ | $ x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots $ | $ [-1, 1] $ |
| $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!}x^n + \cdots $ | $ (-1, 1) $（当 $ k $ 为非整数时） |
| $ \frac{1}{1-x} $ | $ 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + \cdots $ | $ (-1, 1) $ |
三、总结
以上八个基本泰勒公式是数学中常用的展开形式，适用于不同的函数和应用场景。掌握这些公式有助于快速进行函数近似、求导、积分以及解决实际问题。在使用时需要注意收敛区间，确保展开结果在合理范围内有效。
通过表格的形式可以更清晰地看到各个函数的展开形式及其适用范围，便于记忆与应用。在学习或研究过程中，建议结合具体例子进行练习，以加深理解。
