tan 也就是正切函数，它属于奇函数，判定核心依据是满足 f 负 x 等于负 f x，也就是 tan 负 x 等于负 tanx，这是高中三角函数奇偶性板块非常经典的考点，很多同学会把它和正弦余弦弄混，sin 同样是奇函数，cos 是偶函数，tan 由 sin 除以 cos 得到，继承了奇函数的性质，同时要重点注意，tan 函数的定义域不是全体实数，定义域是 x 不等于二分之 π 加 kπ，k 为整数，这个定义域必须关于原点对称，这是判断奇偶性的前置条件，如果定义域不关于原点对称，就算式子满足也不能判定为奇函数，tan 的定义域左右对称，所以满足奇函数判定标准，它的图像也符合奇函数特征，图像关于坐标原点中心对称，同时 tan 最小正周期是 180 度也就是 π，奇偶性和周期是两个独立性质，做题的时候不要把周期性质和奇偶性质混在一起。

奇偶性判定原理推导

函数奇偶性定义

奇函数满足 f (-x) = -f (x)

偶函数满足 f (-x) = f (x)

tanx = sinx /cosx

sin (-x) = -sinx

cos (-x) = cosx

tan (-x) = sin (-x) /cos (-x) = -sinx /cosx = -tanx

最终得到 tan (-x) = -tanx，符合奇函数定义

三角函数奇偶性对照表

深度拓展知识点

1 图像特征，tan 奇函数的图像是关于原点中心对称，把图像绕原点旋转 180 度之后，图像和原来重合，这是奇函数直观几何特征，偶函数是关于 y 轴对称，这点可以用来区分 tan 是奇函数不是偶函数。

2 定义域要求，tan 定义域 x 不等于 π/2 +kπ，这个区间是关于原点对称的，满足奇偶性判定必要前提，很多选择题陷阱就是给出一个定义域不关于原点对称的 tan 变形函数，让考生误判奇偶。

3 和诱导公式关联，tan 负 x 等于负 tanx 本身就是 tan 三角函数诱导公式里面的负角公式，这个公式就是证明 tan 是奇函数的关键等式。

4 复合函数提醒，tan 是奇函数，但是 tan 里面套别的函数之后，复合之后的函数不一定还是奇函数，比如 tan (x 平方) 就是偶函数，不能直接认为只要带 tan 就一定是奇函数。

解题操作步骤

第一步 写出函数 f (x)=tanx

第二步 写出定义域，确认定义域是否关于原点对称

第三步 计算 f (-x)，利用 sin 负 x 和 cos 负 x 的性质推导 tan 负 x

第四步 对比 f (-x) 和负 f (x)，判断等式是否成立

第五步 结合图像辅助验证，确认 tan 是奇函数，排除偶函数

第六步 遇到复合 tan 函数，重新单独判定，不能直接套用 tan 本身是奇函数这个结论

综合总结，tan 是奇函数，判定依靠 tan 负 x 等于负 tanx，定义域关于原点对称，图像关于原点中心对称，要区分 tan 本身奇偶性和复合之后函数奇偶性，同时记住 sin 也是奇函数，cos 是偶函数，cot 同样是奇函数，考试经常把这几个函数放在一起做辨析选择题。

【常见问题】

问题 1 tan 是奇函数还是偶函数，能不能同时既是奇函数又是偶函数

回答 1 tan 是奇函数，tan 不能同时既是奇函数又是偶函数，同时满足奇和偶的函数只有恒等于零的函数，tan 是奇函数，不满足偶函数 f 负 x 等于 f x 的要求。

问题 2 tan 是奇函数还是偶函数，它的定义域满足判定要求吗

回答 2 tan 是奇函数，tan 的定义域 x 不等于二分之 π 加 kπ，这个定义域是关于原点对称的，满足判定 tan 是奇函数的前置必要条件。

问题 3 tan 是奇函数还是偶函数，tan (x 平方) 这个函数还是奇函数吗

回答 3 tan 本身是奇函数，但是 tan (x 平方) 不再是奇函数，tan 是奇函数还是偶函数这个结论只针对原函数 tanx，复合之后需要重新判定，tan (x 平方) 属于偶函数。

问题 4 tan 是奇函数还是偶函数，cot 和 tan 奇偶性质一样吗

回答 4 tan 是奇函数，cot 同样也是奇函数，tan 是奇函数还是偶函数这个考点里，cot 和 tan 奇偶性质一致，都满足 cot 负 x 等于负 cotx。

【免责申明】

本内容为高中三角函数奇偶性教学讲解，判定推导为标准数学结论，不同教材书写格式可能存在差别，正式考试答题请以对应教材规范为准，本内容不构成考试官方标准答案。